Знакомство с египетскими дробями

Для представления дробной части числа в Древнем Египте использовались единичные дроби. Возникновение и применение дробей было связано с делением целого на равные части в практических задачах повседневной жизни. Египетская дробь - это положительное рациональное число m/n, представленное в виде суммы попарно различных единичных (аликвотных) дробей или обратных чисел вида 1/m [1]. Математический папирус Ринда (~1600 год до н.э.) - один из первых источников, в котором представлены задачи с решениями в виде египетских дробей, а также таблица разложения для некоторых дробей вида 2/n в единичные дроби минимальной длины [2]. Важные утверждения:
1. Каждая обыкновенная дробь имеет форму египетской дроби.
2. Каждая дробь имеет бесконечное число форм египетских дробей.
Вычислительные алгоритмы и приемы разложения в египетские дроби:

1. Алгоритм Фибоначчи (1202 г.):
   • шаг 1: m/n=1/ceil(n/m) + R; R - положительное рациональное число;
     ceil(x)=min{n∈Z | n ≥ x} [3]
   • шаг 2: R=m/n-1/ceil(n/m);
   • R - положительное рациональное число, снова представим его как сумму единичной дроби и остатка R'...
   • процесс будет продолжается до тех пор , пока R' не станет единичной дробью;
   • процесс сходится.
2. Алгоритм можно модифицировать, изменив первое слагаемое 1/ceil(n/m) на 1/(ceil(n/m)+i), где i=1, 2, 3... В некоторых случаях это позволяет уменьшить длину египетской дроби и величину знаменателей.
3. Умножение числителя и знаменателя на целое.
4. Метод подразбиения: 1/n=1/(n+1) + 1/(n(n+1));
   2/n=1/n+1/(n+1)+1/(n(n+1));
5. Формула при нечетном n для дроби вида 2/n [4]: 2/(2i+1)=1/(i+1) + 1/((i+1)(2i+1)).
6. Вспомогательные формулы для любых целых x > 0, y > 0 , z > 0 [4] : 1/(xy)=1/x(x+y)+1/(y(x+y));
   1/(xyz)=1/(x(xy+yz+xz))+1/(y(xy+yz+xz))+1/(z(xy+yz+xz)).

Как записывалась дробь: в качестве единичного числителя использовался символ 𓂋 . Знаменатель представлял собою египетское число. Египетские дроби и сегодня являются предметом исследования в теории чисел. Существуют нерешенные гипотезы, связанные с ними.

1. Гипотеза П. Эрдёша — Э. Г. Штрауса (1948 год): каждую дробь вида 4/n можно записать как сумму трех единичных дробей. Гипотеза программно подтверждена для всех n≤10¹⁴.

Литература

1. Википедия. Египетские дроби
2. Б.Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. 1950. Перевод с голландского И.Н. Веселовского. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1969.
3. Википедия. Египетская дробь
4. R.Knott Egyptian Fractions. 2 мая 2016 Wayback Machine.